Hallo, herzlich willkommen zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure C2.

Das erste große Thema, das wir uns anschauen werden, ist das Thema Folgen.

Und das Folienmaterial, das uns über das Semester hin begleiten wird, wurde ursprünglich von Professor Serge Kreutler erstellt.

Ich bin ihm sehr dankbar, dass ich seine Folien nutzen kann, weil sie durch jahrelange Übungen perfektioniert worden sind.

Beginnen wir mit der Definition von Folgen.

Im ersten Semester haben sie sich vermutlich sehr viel mit Stabschirm-Mathematik befasst, also mit Mengen und mit Objekten.

Und im zweiten Semester, wenn man das zusammenfassen wollen würde, wäre das Thema dynamische Zahlen vermutlich eine ganz gute Überschrift.

Der erste fundamentale Begriff von dynamischen Zahlen, wenn man so sagen möchte, ist die Folge.

Eine Folge ist eine Aufzählung von unendlich vielen Zahlen.

Also eine Abfolge, eine Aneinanderreihung von Zahlen A1, A2 und A3.

Zahlen sollte man jetzt hier mit Anführungszeichen versehen, es kann auch komplizierter sein, aber wir beginnen jetzt hier mit Zahlen.

Symbolisch schreiben wir das entweder, indem wir einfach hinschreiben A1, A2, A3, Punkt, Punkt, Punkt.

Oder kompakter in dieser Schreibweise.

Das heißt, klatschen wir auf, dann das Symbol, das die Folgen, Elemente oder die Folgen, die wir haben, in dem Fall A.

Dann N und dann, naja, dann worüber, was ist überhaupt der Index, dieser Index 1, 2, 3 und so weiter.

Na ja, alle N in den natürlichen Zahlen.

Kurz kann man auch einfach schreiben An und Runde klammern außenrum und dann weiß man auch, was gemeint ist.

Ein Beispiel ist die Folge der Quadratzahlen.

Das hier ist die kompakte Schreibweise.

Man könnte auch sagen, naja, das ist die Folge N², N aus N.

Oder man schreibt es explizit und schreibt Punkt, Punkt, Punkt und der Leser soll dann selber verstehen, was gemeint ist.

Also man sieht schon, es gibt hier sehr viele verschiedene Möglichkeiten, das zu schreiben.

Die expliziteste oder genaueste ist hier oben und das ist eine etwas ungenaure, aber dennoch verständliche, weil erartenweise ist auch zu schreiben.

Was können die An sein? Na ja, zum Beispiel wie ein Beispiel der Quadratzahlen.

Reelle Zahlen, 1, 4, 9, 16, das sind alles reelle Zahlen.

Es könnten aber auch komplexe Zahlen sein, es könnten also Abfolge von komplexen Zahlen sein.

Oder es könnte auch alles andere sein.

Man könnte sogar sagen, zum Beispiel an ist der Ente nach dem ersten, ersten 2000 Null Uhr geborene Mensch.

Dann haben wir eben eine Folge von Menschen.

Wir können dann zwar mit diesem Objekt nicht rechnen, also man kann nicht von Menschen addieren, aber dennoch ist es eine wohldefinierte Folge.

Zu jedem Index N haben wir ein wohldefiniertes, endtes Objekt.

Der 17.334. nach dem ersten, ersten 2000 geborene Mensch.

Das ist ein mir zwar persönlich unbekanntes Objekt, aber ein in Prinzip mathematisch wohldefiniertes.

Ein bisschen weniger pathologisches Beispiel wäre jetzt hier diese konkrete Folge von komplexen Zahlen.

Das Ente Objekt ist diese Zahl.

Zum Beispiel a0 ist diese Zahl hoch Null.

Wir wissen Zahl hoch Null, das ist immer 1.

a1 ist ein halb 1 plus i.

Jetzt beginnen wir mal das jetzt in der komplexen Zahnebene aufzuschreiben.

Das ist jetzt hier der Realteil, das ist der imaginär Teil.

Das erste Folgenlied ist hier bei 1, das ist also dieser Punkt auf der komplexen Ebene.

Der Punkt a1, das ist der nullte Punkt, könnte man sagen.

a1 ist ein halb 1 plus ein halb i.

Das ist in etwa hier a1.

Dann schauen wir uns an, was ist a2?

Das ist das hier hoch 2.

Dann müssen wir das jetzt wohl mal ausrechnen.

Das ist ein Viertel.

Jetzt hier binomische Formel angewandt auf diese komplexe Zahl.

1 plus 2i plus i².